tienen expresiones matemáticas similares (solo cambian el signi…cado de
las variables y de los cohe…cientes que caracterizan al sistema). Otras aplicaciones son por ejemplo ‡ujo
irrotacional de un ‡uido ideal (k = 1 y Q = 0), ‡ujo de un ‡uido a través de un medio poroso (Q = 0 y
k = permeabilidad del medio poroso), entre otras.
Primeramente para un problema unidimensional, las expresiones se reducen a:
@
@x
k
@
@x
(10)
+ Q =
=
qn
q
=
0
0
0
En este caso el dominio comprende
= f0
x
Lxg y el contorno
= fx = 0;x = Lxg. Esta
ecuación diferencial ordinaria puede resolverse analiticamente, y servirá para comparar con las soluciones
aproximadas que obtendremos al aplicar un procedimiento discretio para resolverla.
2
X
1.2
Discretización
Las soluciones numéricas a ecuaciones diferenciales ordinarias o a derivadas parciales por aplicación de
procedimientos numéricos llevaran implícitos los conceptos de aproximación y de discretización.
El concepto de aproximación estará involucrado porque se seleccionará una familia de funciones para
aproximar a la función solución (analítica) con un procedimiento que guarda cierta similitud una combi-
nación lineal.
La selección del conjunto de funciones de aproximación es un punto clave para la solución de ecuaciones
diferenciales utilizando métodos numéricos. Es el primer paso para replantear el problema mátemático a
resolver, con el …n de obtener una forma puramente algebraica que solo involucre operaciones matemáticas
básicas.
Comenzaremos por elegir un conjunto de funciones de manera tal que la función de aproximación
satisfaga las condiciones de borde exactamente. Si podemos encontrar una función
que satisfaga las
condiciones de borde en , y un conjunto de funciones de prueba Nm (m = 1::M, con M …nito) elegidas
de manera tal que Nm = 0 en
para todos los m. El conjunto de funciones de prueba Nm tiene la
la función
…nalidad de ajustar a la solución en el dominio. Entonces para todos los puntos del dominio
^
solución puede aproximarse por :
'
^
=
+
M
amNm
(11)
m=1
am es un conjunto de parámetros que hay que calcular para obtener un buen ajuste. Las funciones
de prueba también son conocidas como funciones de base o funciones de forma.
La condición para elegir a este conjunto de ecuaciones es que si se aumenta el número M se tenga
la garantía de obtener una mejor solución aproximada, con lo cual la función
^
convergerá a
. Una
condición para que se logre la convergencia es que el conjunto de funciones elegido tenga la posibilidad
de representar cualquier variación de la función
en el dominio
. Esto es conocido como requerimiento
de completitud.
El concepto de discretización aparece cuando se reemplazan los in…nitos puntos donde se necesita
conocer la función incógnita por un número …nito de parámetros desconocidos. En general este conjunto
de parámetros estará asociado al conjunto de funciones que utilizaremos para aproximar a la función
solución que estamos buscando, en el caso (11) serán los am.
Solo resta establecer una metodología (o procedimiento) que nos permita determinar los valores de
los parámetros. Con este …n se presenta, luego del ejemplo, el método de aproximación por residuos
ponderados.
EJEMPLO 1:
Este ejemplo tiene la …nalidad de encontrar una función aproximante paramétrica como la (11) a una
función dada. Supongamos que tenemos la función:
=
(0:1 + x=3) sin(1:7
x)
Se propone la siguiente familia, o conjunto de funciones, para realizar el ajuste:
=
=
0:3505740306 x
[ (0:1 + 1=3) sin(1:7
1)]x
N1
N2
=
=
x(1
x2 (1
x)
x)
^
=
+ a1 N1 + a2 N2
Como debemos calcular dos parámetros, pondremos las siguientes condiciones:
^
(1=3) =
(1=3) y
^
(2=3) = (2=3), lo cual permitirá plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, resolverlo y
obtener el valor de los parámetros a1 y a2.
3
X
X
X
Z
2
9
2
9
2
27
4
27
a1
a1
=
0:2064978
+0:1310596
0:350574 1=3
0:350574 2=3
a1
a1
=
2:44824857
2:97944192
^
= 0:3505740306 x + 2:44824857x(1
x) + 2:97944192×2 (1
x)
1.3
Aproximación por residuos ponderados
Lo primero que se debe de…nir es el error o residuo de la aproximación (11), al que denominaremos R :
R =
^
(12)
Aqui debemos observar que R también dependerá de la posición x dentro del dominio
, (dado que
y
^
dependen de x). Lo que se quiere hacer es disminuir este residuo de una manera general en todo el
dominio
. Para ello vamos a requerir que un conjunto apropiado de integrales del error sobre el dominio
pesandas (ponderadas) de diferentes maneras, sea cero. Matemáticamente:
Z
Wl R d
=
Z
Wl
^
d
=0
con l = 1::M
(13)
Wl es un conjunto de funciones de peso independientes.
Para que se cumpla la condición general de convergencia
^
!
cuando M ! 1 , consiste en
exigir que (13) se satisfaga para toda Wl cuando M ! 1. Esto será cierto solo si R ! 0 en todos los
puntos del dominio (que es lo que se desea). Cuando se reemplaza (11) en (13) se obtiene un sistema de
ecuaciones algebraicas lineal. Resolviendo el sistema de ecuaciones algebraicas obtenemos los valores de
los parámetros am que se estaban buscando. Concretamente:
Z
Wl
^
d
=
Z
Wl
"
M
m=1
#
amNm d
(14)
=
Z
Wl [
]d
Z
Wl
"
M
m=1
#
amNm d
=
Z
Wl [
]d
M
m=1
am
Z
WlNmd
= f
Ka
Donde:
aT
=
(a1;a2;:::;aM)
(15)
Klm
=
Wl Nm d
1
l
M y 1
m
M
fl
=
Z
Wl (
) d
1
l
M
(16)
l sistema a resolver, escrito de la manera convencional es:
Ka = f
4
Donde K es la matriz de coe…cientes, a el vector de incógnitas y f el vector de términos independientes.
Para poder resolver las integrales, previamente debemos elegir al conjunto de funciones de peso Wl.
Varios conjuntos de funciones de peso pueden ser utilizadas, cada uno conduce a un método de apro-
ximación por residuos ponderados diferente. A continuación se enumeran algunos de los más utilizados,
para problemas unidimensionales.
1.3.1
Colocación por puntos
Aqui el conjunto de funciones de peso Wl es:
Wl = (x
xl)
(17)
donde (x
xl) es la función Delta de Dirac, que tiene las siguientes propiedades:
(18)
(x
(x
xl) = 0 si x 6= xl
xl) = 1 si x = xl
x>xl
G(x) (x
xl) dx = G(xl)
x< xl
Lo cual implica que R = 0 en un cierto número de puntos xl. Las componentes de la matriz K y del
vector f que se obtienen al reemplazar (17) en (13) obteniendo las siguientes expresiones:
Klm
= Nm(xl)
(19)
fl
= [
]x=xl
Nm(xl) :es la función de prueba valuada en xl
[
]x=xl
:es la diferencia de las funciones valuada en xl
1.3.2
Colocación por subdominios
En este caso, el conjunto de funciones de peso Wl se elige para que satisfaga las siguientes condiciones:
Wl =
1
0
si xl < x < xl+1
si x < xl o x > xl+1
(20)
Por propiedad de las integrales la (13) simplemente requiere que la suma de la integral del error sobre
M subdominios que componen a
sea cero. Reemplazando la función de peso en (13) se obtienen las
Klm
=
l
siguientes expresiones para las componentes de la matriz K y del vector f son en este caso:
xZ +1
Nm dx
(21)
fl
=
l
xl
xZ +1
xl
(
) dx
5
1.3.3
Mínimos cuadrados
En general el método de mínimos cuadrados no es presentado como un método de residuos ponderados,
pero puede mostrarse que pertenece a esta clase de métodos. La aproximación general por mínimos
cuadrados es tratar de minimizar la suma de los cuadrados del residuo (o error) en cada punto del
dominio
. En este caso se requiere la minimización de:
I (a1;a2;:::;aM) =
Z
^
2
d
(22)
tal que, se plantearemos que
@I
@al
= 0 para l = 1;2;:::M
(23)
Llevando a cabo el proceso de derivación, y teniendo en cuenta (11) se obtiene:
= Nl
(24)
@I
@al
Puede mostrarse que I es un mínimo cuando:
Z
^
Nl d
=0
(25)
Klm
=
Esta última expresión es de la misma forma que (13) si se considera que Wl = Nl. Las expresiones
para las componentes:
Z
Nl Nm d
(26)
fl
=
Z
Nl (
) d
1.3.4
Galerkin
Klm
=
Este es sin dudas es el mas popular de los métodos de residuos ponderados. En este caso se eligen como
funciones de peso a las mismas funciones que se utilizan como funciones de forma, es decir Wl = Nl.
Haciendo el reemplazo en (13) las componentes de la matriz K y del vector f son:
Z
Nl Nm d
(27)
fl
=
Z
Nl (
) d
Observaciones:
| Este método tiene la ventaja computacional de que la matriz K resulta simétrica (generalmente).
| Las expresiones (26) y (27) resultan ser equivalentes.
| Si el conjunto de funciones de prueba Nm = sin(m x=Lx) para m = 1;2;:::M y
= fxn 0
x
Lxg
se obtiene que:
Klm
=
L
Zx
0
sin
l
x
Lx
sin
m x
Lx
dx
fl
=
L
Zx
0
(
) sin
m x
Lx
dx
6
= x (1
que al realizar las integrales da:
Klm =
Lx=2 si l = m
0 si l 6= m
dando lugar a un sistema diagonal, resultando inmediatamente en la solución:
am
=
2
Lx
L
Zx
(
) sin
m x
Lx
dx para m = 1;2;:::m
0
Que es idéntica a la representación de una serie seno de Fourier truncada, donde la particular simpli-
cidad se debe a la propiedad de ortogonalidad de las funciones de forma.
EJEMPLO 2:
Encontraremos ahora las aproximaciones a la función del ejemplo 1 empleando el método de residuos
= [0;1]
ponderados utilizando las distintas funciones de peso presentadas. La función a aproximar en
es:
=
(0:1 + x=3) sin(1:7
x)
Se propone la siguiente aproximación a la función, que será utilizada en todos los casos:
^
=
+ a1 N1 + a2 N2
= 0:3505740306 x
N1
N2
= x(1
2
x)
x)
Colocación por puntos
Se adoptan los siguientes dos puntos de colocación: x1 = 0:25 y x2 = 0:75 con lo cual M = 2
Klm = Nm(xl) y fl = [
]x=xl
K11 =
K12 =
N1 (x1) = 0:1875
N2 (x1) = 0:046875
f1 =
(x1)
(x1) =
0:2659113
K21 =
K22 =
N1 (x2) = 0:1875
N2 (x2) = 0:140625
f2 =
(x2)
(x2) = 0:0032116
El sistema y su solución son:
0:1875
0:1875
0:046875
0:140625
a1
a2
=
0:2659113
0:0032116
)
a1 = 2:1358546
a2 = 2:87064426
^
= 0:3505740306 x
2:13585478 x(1
x) + 2:87064417 x2 (1
x)
Colocación por subdominios
Se adoptan dos subdominios, el primer subdominio esta comprendido ente x1 = 0 y x2 = 0:5 y el
segundo entre x2 = 0:5 y x3 = 1 con lo cual M = 2.
Klm =
l
xZ +1
xl
Nm dx y fl =
l
xZ +1
xl
(
) dx
7
=
=
=
=
0:
K11 =
K12 =
0:
R5
0
R5
N1 (x)dx
N2 (x)dx
= 0:083333
= 0:0260416
f1 =
0:
R5
0
0
[ (x)
(x)]dx =
0:11234019
1
K21 =
K22 =
1
R
0:5
R
N1 (x)dx
N2 (x)dx
= 0:0833333
= 0:0572916
f2 =
1
R
0:5
[ (x)
(x)]dx =
0:02452481
0:5
El sistema algebraico y su solución son:
0:083333
0:0833333
0:0260416
0:0572916
a1
a2
=
0:11234019
0:02452481
)
a1 = 2:226236221
a2 = 2:8100923155
^
= 0:3505740306 x
2:226236221 x(1
x) + 2:8100923155 x2 (1
x)
Mínimos cuadrados
En este caso se tiene que las expresiones para Klm y fl coinciden con las que corresponden a Galerkin:
Klm =
Z
Nl Nm d
y fl =
Z
Nl (
) d
1
1
1
1
1
K11 =
K12 =
f1 =
K21 =
K22 =
f2 =
1
R
0
R
R
N1 (x)N1 (x)dx
0
R
N1 (x)N2 (x)dx
0
N1 (x)[ (x) (x)]dx =
R
N2 (x)N1 (x)dx
0
R
N2 (x)N2 (x)dx
0
N2 (x)[ (x) (x)]dx =
1
30
1
60
0:03053668742
1
60
1
105
0:01192414968
0
El sistema y su solución son:
1
30
1
60
1
60
1
105
a1
a2
=
0:03053668742
0:01192414968
)
a1 = 2:32066211519
a2 = 2:80912298519
^
= 0:3505740306 x
2:32066211519 x(1
x) + 2:80912298519 x2 (1
x)
En el siguiente gra…co se han superpuesto la función y las aproximaciones obtenidas.
8
k @n
u ' u =
X
1.4
Aproximación a la solución de ecuaciones diferenciales
Consideremos que la ecuación dierencial puede ser escrita de la diguiente forma general:
en
(28)
A(u) = L(u) + p = 0
Donde
L() es un operador diferencial lineal
p
es una función independiente de u
u
variable independiente
Las condiciones de borde pueden expresarse en forma general como:
B(u) = M(u) + r
en
(29)
Donde
M(u) = u
entonces r =
u en
u
M(u) =
@u
entonces r =
q en
q
1.4.1
Condiciones de borde satisfechas por la elección de las funciones de prueba
^
expansión de la forma:
^
+
M
am Nm
(30)
En este caso la función
m=1
será la encargada de cumplir las condiciones de borde y las funciones Nm
las encargadas de ajustar a la función solución en el dominio. Estas funciones son elegidas de manera tal
que cumplan con las siguientes condiciones:
M( )
=
r en
(31)
M(Nm)
=
0 para m = 1;2;:::M
en
9
' u =
X
@u
X
@2u
@x
@x
X
= A(u)
= L(u) + p
X
X
u ' u =
X
^
los coe…cientes am. La aproximación (30) puede utilizarse para aproximar a las derivadas de u derivando
y que todas sus derivadas,
directamente, con tal que las funciones Nm sean continuas en el dominio
que sean necesarias, existan:
u
^
+
M
m=1
am Nm
(32)
@u
@x
'
^
@x
=
@
@x
+
M
m=1
am
@Nm
@x
@2u
@x2
'
^
2
=
@2
2
+
M
m=1
am
@2Nm
@x2
Las aproximaciones a u,
@u
@x
y
@2u
@x2
son reemplazadas en la ecuación diferencial A(u) para obtener la
expresión del residuo.
R
(33)
^
^
= L( ) +
M
amL(Nm) + p
m=1
Obtenido el residuo éste se minimizará utilizando el método de los residuos ponderados, para que
R ' 0 en
, lo cual lleva a plantear:
Z
Wl R d
=
Z
"
Wl L( ) +
M
#
amL(Nm) + p = 0
(34)
Klm
=
m=1
Agrupando adecuadamente los términos obtenemos:
Z
Wl L(Nm) d
1
l
M y 1
m
M
(35)
fl
=
Z
Wl p d +
Z
Wl L( ) d
1
l
M
Por lo cual obtenemos el siguiente sistema algebraico a resolver:
Ka + f = 0
1.4.2
Condiciones de borde no satisfechas por la elección de las funciones de prueba
En muchos casos ocurre que encontrar una función
que satisfaga las condiciones de borde, suele ser
una tarea muy ardua y en ocasiones imposible, lo cual limita el rango de funciones de prueba admisibles.
Para salvar este inconveniente se considerará un conjunto de funciones que no satisfagan las condiciones
^
^
M
am Nm
(36)
m=1
^
en el dominio R . Tenemos ahora:
10
= A(u) = L(u) + p
= B(u) = M(u) + r
' u =
X
@u
X
@2u
X
h i
Wl L(u) + p d
WlL(u) d +
Wl L(u) d
Wl E u
C (Wl ) D u d
(37)
R
R
^ ^
^ ^
en
en
Ahora deben ser minimizados ambos, para lo cual se propone plantear el método de los residuos
ponderados de la siguiente manera:
Z
Wl R d +
Z
Wl R d = 0
(38)
Las funciones de peso Wl (en el dominio) y las Wl (en el contorno) pueden ser elegidas en forma
independiente. La aproximación (36) puede utilizarse para aproximar a las derivadas de u, con tal que
las funciones Nm sean continuas en el dominio
y que existan todas sus derivadas:
u
^
M
m=1
am Nm
(39)
@u
@x
'
^
@x
=
M
m=1
am
@Nm
@x
@2u
@x2
'
^
@x2
=
M
m=1
am
@2Nm
@x2
El residuo en el dominio y en el borde se obtienen reemplazando las aproximaciones (39) en (28) y
(29), para obtener:
Klm
=
Z
Wl L(Nm) d +
Z
Wl M(Nm) d
1
l
M y 1
m
M
(40)
fl
=
Z
Wl p d
Z
Wl r d
1
l
M
1.4.3
Forma débil del problema. Condiciones de borde naturales
Se ha planteado la forma de encontrar el valor de los parámetros am aun cuando la solución aproximada
^
funciones a utilizar, pueden aparecer di…cultades cuando las condiciones de borde incluyen derivadas de
^
para evitar tales cálculos y proponer una forma mas general para tratar las condiciones de borde.
Volviendo al planteo de residuos ponderados, se tenía que:
Z
Wl R d
=
Z
^
=
Z
^
Z
Wlp d
El primer término pude ser integrado por partes (recordar que
R
udv = uv j
R
vdu) obteniendo:
Z
^
=
Z
^
d
Z
^
(41)
11
Wl E u
@x2 = 0
@x2 +
+ 1 = 0 para 0
Donde C , D y E son operadores diferenciales con un orden de diferenciación menor que L. A la
expresión (41) se conoce como orma débil del problema.
Si reemplazamos la expresión de la forma débil (41) en la expresión del residuo (38) y se eligen
convenientemente las funciones de peso Wl el último término de (41) podrá cancelarse con parte del
término que corresponde al residuo en el contorno. Este procedimiento es aplicable para tratar con las
condiciones de borde naturales del problema, no asi para las condiciones esenciales.
Z
q
Wl r d
$
Z
q
^
d
Debido a que los nuevos operadores diferenciales son de menor orden, son menores también los re-
querimientos que deben cumplir las funciones de prueba, lo cual es una ventaja adicional.
Con el …n de aclarar los conceptos que han sido presentados de manera abstracta, plantearemos un
par de problemas simples a los que aplicaremos los procedimientos recien vistos, estos se presentan en los
siguientes ejemplos.
EJEMPLO 3:
Vamos a tratar con el siguiente problema de transferencia de calor unidimensional con una fuente
distribuida gobernado por el siguiente sistema de ecuaciones:
@2
@x2
+
+1=0
= 0 en x = 0
= 1 en x = 1
Solución analítica
La solución homogenea es:
h(x)
= Acos(x) + B sin(x)
La solución particular:
p(x) =
@2
0+ +1=0 )
=
1
La solución general entonces
(x)
=
h(x) +
p(x)
(x)
= Acos(x) + B sin(x)
1
Utilizando las condiciones de contorno para encontrar las constantes A y B
x =0 ;
= 0 ) 0 = Acos(0) + B sin(0)
1
) A =1
= 1 ) 1 = 1cos(1) + B sin(1)
1 ) B = 1:734697595
x = 1;
La solución entonces es:
1
(x) = cos(x) + 1:734697595sin(x)
Soluciones aproximadas por residuos ponderados
Con funciones que satisfacen las condiciones de borde
El problema esta de…nido por:
x
1
@2
= 0 en x = 0
= 1 en x = 1
12
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